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問題：2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.03記

[解答]

(1) 最後から連続して $m$ 回表が出て，その前があれば裏となる確率だから
$m=n$ のとき $p^n$ ，
$0\leqq m\lt n$ のとき $(1-p)p^m$

(2) 高さが $m+1$ 以上になる確率は最後から連続して $m+1$ 回表が出る確率だから，その余事象を考えて
$m=n$ のとき $1$ ，
$0\leqq m\lt n$ のとき $1-p^{m+1}$

(3) 両方の高さが $m$ 以下になる確率から両方の高さが $m-1$ 以下になる確率を除けば良いので，
$m=n$ のとき $1^2-(1-p^{n})^2=(2-p^n)p^{n}$ ，
$0\lt m\lt n$ のとき $(1-p^{m+1})^2-(1-p^m)^2=(2-p^m-p^{m+1}) p^m (1-p)$ ，
$m=0$ のとき $(1-p)^2$

注） $m=0$ は $0\lt m\lt n$ に含まれ，
$0\leqq m\lt n$ のとき $(2-p^m-p^{m+1}) p^m (1-p)$
となる．