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問題：2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

射影行列への直和分解（スペクトル分解）

2021.02.03記

行列の射影行列への直和分解

行列のスペクトル分解はそもそも対称行列やエルミート行列に対する用語だった気がして，一般射影分解とか，射影行列への直和分解とか個人的には呼んでいたが，一般スペクトル分解という呼び方もいつのまにか登場している．

[解答]
(1) $(P+Q)A=aP^2+aQP+(a+1)PQ+(a+1)Q^2$ $=aP+(a+1)Q=A$ より成立．

(2) $I$ を2次単位行列とする． $a\gt 0$ より $A$ の行列式 $a(a+1)$ は 0 でないので， $A^{-1}$ が存在し，(1) より $P+Q=I$ が成立する.これと $A=aP+(a+1)Q$ と連立させて
$P=(a+1)I-A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ， $Q=A-aI=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A_k=kP+(1+k)Q$ であるから，求める値は $P,Q$ の $n-1$ 次の同次式である． $PQ=QP=O$ であるから，
$P^{n-1}$ と $Q^{n-1}$ の項のみが残り， $P^{n-1}=P$ と $Q^{n-1}=Q$ から，
$A_2A_3\cdots A_k$ $=(2\times 3\times\cdots\times n)P+(3\times 4\times\cdots\times n)Q$ $=n! P+\dfrac{(n+1)!}{2}Q=\begin{pmatrix} n! & 0 \\ \dfrac{(n+1)!}{2}-n! & \dfrac{(n+1)!}{2} \end{pmatrix}$ $=n! \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{n-1}{2} & \dfrac{n+1}{2} \end{pmatrix}$