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問題：2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] $n$ と $k$ を正の整数とし， $P(x)$ を次数が $n$ 以上の整式とする．整式 $(1+x)^kP(x)$ の $n$ 次以下の項の係数がすべて整数ならば， $P(x)$ の $n$ 次以下の項の係数は，すべて整数であることを示せ．ただし，定数項については，項それ自身を係数とみなす．

本問のテーマ

整数係数多項式環

2020.08.03記

整数係数多項式環

$\mod x^{n+1}$ で考えて，整数係数の $n$ 次以下の多項式の集合を $Z_n(x)$ とする．
$1+x$ の逆元が $Z_n(x)$ にあれば良く、等比数列の和の公式を利用して，積の逆元を具体的に与えてやれば良い．

[大人の解答]

$\mod x^{n+1}$ で考える． $n$ 次以下の整数係数多項式環 $Z_n(x)$ の元 $1+x$ の積の逆元は $Q(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-x)^k$ であるから， $(1+x)^k$ の積の逆元は $\{Q(x)\}^k$ となる．よって
$(1+x)^kP(x)\in Z_n(x)$ $\Longrightarrow \{Q(x)\}^k \{(1+x)^k P(x)\}$ $=[ \{Q(x)\}^k(1+x)^k] P(x)$ $=P(x)\in Z_n(x)$ となる．

これをアレンジすると次のようになる．

[解答]

$n$ 次以下の項の係数がすべて整数であるような整式の集合を $P_n$ とする．このとき，整式の計算規則（筆算）から
$f(x)，g(x)\in P_n$ ならば $f(x)g(x)\in P_n$ が成立する．

$Q(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-x)^k \in P_n$ とおくと， $Q(x)(1+x)=1-(-x)^{n+1}\in P_n$ であるから，
$(1+x)^kP(x)\in P_n$ $\Longrightarrow \{Q(x)\}^k(1+x)^k P(x)$ $＝(1-(-x)^{n+1})^kP(x)$ $=P(x) +（ x^{n+1} より高次の項）\in P_n$
が成立する．よって $P(x)\in P_n$ が成立する．つまり $P(x)$ の $n$ 次以下の項の係数は，すべて整数である．