2007年(平成19年)東京大学前期-数学(文科)[3]

2024.02.19記

[3] 正の整数の下 $2$ 桁(けた)とは， $100$ の位以上を無視した数をいう．たとえば $2000$ ， $12345$ の下 $2$ 桁はそれぞれ $0$ ， $45$ である． $m$ が正の整数全体を動くとき， $5m^4$ の下 $2$ 桁として現れる数をすべて求めよ．

2021.02.02記

[解答]
mod 100 で考える．
$m\equiv10a+b$ のとき， $5m^4\equiv 5(40ab^3+b^4)\equiv 5b^4$
であり，これは $b^2$ で決まるので（例えば $1$ と $9=10-1$ では同じ値）
$b=0,1,2,3,4,5$ について考えれば良く，このとき $00,05,80,05,80,25$ となるので
$00,05,25,80$

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