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問題：2006年(平成18年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.07.29記
もとの関数の積分と逆関数の積分の関係を表しており，Young の不等式と関連する出題だが，気にしなくても，バームクーヘン積分のときにも習う逆関数で置換してから部分積分をするテクニックを用いれば自然に処理ができる．

(1) はほとんどの問題集の解答が、 $f'(x)=\dfrac{12(e^{5x}+3e^{x})}{(e^{2x}-1)^2}\gt 0$ より $f(x)$ は単調増加であり， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ 　， $\displaystyle\lim_{x\to +0} f(x)=-\infty$ であるから， $y=f(x)$ は実数全体から実数全体への一対一の写像となるので、逆関数が存在する，のように示しているが，実は，問題文の注釈である

「すなわち，任意の実数 $a$ に対して， $f(x)=a$ をみたす $x>0$ がただ1つ存在することを示せ」

という文言に素直に従って， $e^x=X$ とおくと見通しが良くなる．

[解答]
(1) $e^x=X\gt 1$ とおくと、 $x=\log X\gt 0$ であるから， $x\gt 0$ と $X\gt 1$ は一対一に対応する．

よって
$f(x)=a\Leftrightarrow F(X)=\dfrac{12X(X^2-3)}{(X+1)(X-1)}=a$
$\Leftrightarrow G_a(X)=12X(X^2-3)-a(X+1)(X-1)=0$
をみたす $X\gt 1$ が任意の実数 $a$ に対して唯一定まることを示せば良い．

$\displaystyle \lim_{X\to -\infty} G_a(X)=-\infty$ ， $G_a(-1)=24\gt 0$ ， $G_a(1)=-24\lt 0$ ， $\displaystyle \lim_{X\to +\infty} G_a(X)=+\infty$
であるから，中間値の定理により，3次方程式 $G_a(X)=0$ は任意の実数 $a$ に対して， $X\lt -1$ ， $-1\lt X\lt 1$ ， $1\lt X$ の範囲のそれぞれ実数解を1つずつもつ．

よって以上から，任意の実数 $a$ に対して， $X\gt 1$ が唯一定まり，その $X$ に対して $x\gt 0$ が唯一定まるので、題意は証明された．

(2) $e^y=Y$ とおくと，
$g(a)=y \Leftrightarrow f(y)=a \Leftrightarrow G_a(Y)=0$
が成立する．ここで（ $a$ から $Y$ が簡単に求まると予想して）
$G_a(2)=24-3a=3(8-a)$ ， $G_a(3)=12\times 3\times 6-8a=8(27-a)$ であるから，
$a=8,\,27$ のとき、 $Y=2,\,3$ となり， $y=\log 2,\,\log 3$ となる．

つまり， $g(8)=\log 2$ ， $g(27)=\log 3$ が成立する．

$g(x)=y$ 、つまり $f(y)=x$ とすると， $g'(x)dx=dy$ ， $f'(y)dy=dx$ であるから，求める定積分の値を $I$ とすると，
$I=\displaystyle\int_8^{27} g(x) dx$ $\displaystyle =\int_{\log 2}^{\log 3} y f'(y) dy$ $\displaystyle =\Bigl[yf(y)\Bigr]_{\log 2}^{\log 3}-\int_{\log 2}^{\log 3} f(y) dy$ $\displaystyle =27\log 3 - 8\log 2-\int_{\log 2}^{\log 3} f(y) dy$
となる．ここで $Y=e^y$ と置換すると $dY=e^ydy=Ydy$ だから，（先程の $F(X)$ を思い出して）
$I\displaystyle =27\log 3 - 8\log 2-\int_2^3 \dfrac{F(Y)}{Y}dY$
$\displaystyle =27\log 3 - 8\log 2-\int_2^3 \dfrac{12(Y^2-3)}{(Y+1)(Y-1)}dY$
$\displaystyle =27\log 3 - 8\log 2-12-12\int_2^3 \dfrac{-2}{(Y+1)(Y-1)}dY$
$\displaystyle =27\log 3 - 8\log 2-12-12\int_2^3 \Bigl(\dfrac{1}{Y+1}-\dfrac{1}{Y-1}\Bigr)dY$
$\displaystyle =27\log 3 - 8\log 2-12-12\Bigl[\log\dfrac{Y+1}{Y-1}\Bigr]_2^3$
$=27\log 3 - 8\log 2-12-12\log 2+12\log 3$
$\displaystyle =39\log 3 -20\log 2-12$ 　