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問題：2006年(平成18年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.02記

[解答]
(1) ${\rm P}_n$ は ${\rm P}_{n-1}$ と ${\rm P}_{n+1}$ の中点を原点中心に $\dfrac{4}{3}$ 倍拡大したものであるから，線分 ${\rm OP}_2$ と線分 ${\rm P}_1{\rm P_3}$ は交わらなければならない．

${\rm P}_1\sim{\rm P_3}$ が $xy=1$ 上にあると仮定する．

(i) ${\rm P}_1$ と ${\rm P_3}$ が一致する場合， ${\rm P}_2$ は ${\rm P_1}$ を原点中心に $\dfrac{4}{3}$ に拡大したものだから ${\rm P}_2$ は $xy=1$ 上にない．

(ii) ${\rm P}_1$ と ${\rm P_3}$ が異なる点で同じ枝にある場合， ${\rm P}_1$ と ${\rm P_3}$ の間は線分 ${\rm P}_1{\rm P_3}$ に関して原点と同じ側にあるので矛盾．

(iii) ${\rm P}_1\Bigl(p,\dfrac{1}{p}\Bigr)$ と ${\rm P_3}\Bigl(q,\dfrac{1}{q}\Bigr)$ が違う枝にある場合（ $pq\lt 0$ ）， ${\rm P}_2\Bigl(\dfrac{2(p+q)}{3},\dfrac{2(p+q)}{3pq}\Bigr)$ は第2象限または第4象限にあることになり矛盾．

よって ${\rm P}_1\sim{\rm P_3}$ が $xy=1$ 上にあることはない．

(2) ${\rm OP}_1={\rm OP}_3$ のとき， ${\rm P}_2$ は $\angle {\rm P}_{1}{\rm OP}_{3}$ の角の二等分線上にあるので，
原点中心に回転して ${\rm P}_1$ を ${\rm P}_2$ をうつすための回転量と，原点中心に回転して ${\rm P}_2$ を ${\rm P}_3$ をうつすための回転量は等しい．この回転を表す線形変換の表現行列を $R$ とすると，
$R\vec{{\rm OP}_1}=\vec{{\rm OP}_2}$ ， $R\vec{{\rm OP}_2}=\vec{{\rm OP}_3}$ である．

このとき，
$\vec{{\rm OP}_4}=\dfrac{3}{2}\vec{{\rm OP}_3}-\vec{{\rm OP}_2}$ $=\dfrac{3}{2}R\vec{{\rm OP}_2}-R\vec{{\rm OP}_1}$ $=R\Bigl(\dfrac{3}{2}\vec{{\rm OP}_2}-\vec{{\rm OP}_1}\Bigr)$ $=R\vec{{\rm OP}_3}$
だから， ${\rm P}_4$ は ${\rm P}_3$ を原点中心に回転したものであるから，単位円周上にある．

注) 回転量の余弦は $\dfrac{3}{4}$ （時計回りと反時計回りが考えられる）である．

${\rm P}_1$ と ${\rm P_3}$ が違う枝にある場合に ${\rm P}_2$ は第2象限または第4象限にあることは，幾何的には ${\rm P}_1$ の原点に関する対称点を ${\rm P}'_1$ とすると ${\rm OP}_2\parallel {\rm P}'_1{\rm P}_3$ となることからわかる（双曲線上の同じ枝の異なる2点を通る直線の傾きは負になる）