2006年(平成18年)東京大学前期-数学(文科)[3]

2024.02.19記

[3] $n$ を正の整数とする．実数 $x$ ， $y$ ， $z$ に対する方程式
$x^n+y^n+z^n=xyz$ …①
を考える．

(1) $n=1$ のとき，①を満たす正の整数の組 $(x,y,z)$ で， $x\leqq y\leqq z$ となるものをすべて求めよ．

(2) $n=3$ のとき，①を満たす正の実数の組 $(x,y,z)$ は存在しないことを示せ．

2021.01.31記

[解答]
(1) $xyz=x+y+z\leqq 3z$ だから， $xy\leqq 3$ となり $(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)$ となり，3通り調べると
$(x,y,z)=(1,2,3)$

(2) $x^3+y^3+z^3=xyz\leqq z^3$ だから， $x^3+y^3\leqq 0$ となり，これをみたす正の整数の組は存在しない．

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