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2006年(平成18年)東京大学前期-数学(文科)[2]

2024.02.19記

[2] コンピュータの画面に，記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う．このとき，各操作で，直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は，それまでの経過に関係なく， $p$ であるとする．最初に，コンピュータの画面に記号×が表示された．操作をくり返し行い，記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に，記号○が $n$ 個出る確率を $\mbox{P}_n$ とする．ただし，記号○が $n$ 個出た段階で操作は終了する．

(1) $\mbox{P}_2$ を $p$ で表せ．

(2) $\mbox{P}_3$ を $p$ で表せ．

(3) $n\geqq 4$ のとき， $\mbox{P}_n$ を $p$ と $n$ で表せ．

理系に部分点かつヒントの(2) を追加したもの．

2021.02.02記

[解答]
例えば ×○○×××○××○○○××（実際には考えない）という状態を $(1,2,3,1,2,3,2)$ のように表現する．

(1) $(1,2)，(2,2)，(1,1,1,1)$ の3通りを考えて
$P_2=p(1-p)+p^2(1-p)+(1-p)^3$ $=(1-p)(2p^2-p+1)$

(2) $(1,3)，(2,3)，(1,1,1,2)，(1,2,1,1)$ の4通りを考えて
$P_3$ $=p^2(1-p)+p^3(1-p)+p(1-p)^3+p(1-p)^3$ $=p(1-p)(3p^2-3p+2)$

(3) $(1,n)$ ， $(2,n)$ ， $(1,k,1,n-k)$ （ $1\leqq k\leqq n-1$ ）の $n+1$ 通りを考えて
求める確率は
$P_n=p^{n-1}(1-p)+p^{n}(1-p)+(n-1)p^{n-2}(1-p)^3$ $=p^{n-2}(1-p)\{p+p^2+(n-1)(1-p)^2\}$

となる．

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