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2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)[4]

2024.02.18記

[4] $3$ 以上 $9999$ 以下の奇数 $a$ で， $a^2-a$ が $10000$ で割り切れるものをすべて求めよ．

2024.02.18記

[解答]
$a$ と $a-1$ は互いに素であり $a(a-1)$ が $2^4\cdot 5^4$ で割り切れ， $a$ が奇数であることから， $a-1$ は $2^4$ の倍数， $a$ は $5^4$ の倍数である．

よって $a=A\cdot 5^4=B\cdot 2^4+1$ をみたす自然数 $A，B$ が存在する．ここで $3\lt a\lt 10000$ から $A$ は $1\leqq A \leqq 15$ なる奇数である．

両辺を $16$ で割った余りを考えると， $5^4=16\times 39+1$ であるから， $A$ を $16$ で割った余りは1となるが， $1\leqq A \leqq 15$ なる奇数であることから， $A=1$ である．

よって $A=1$ （ $B=39$ ）となり， $a=625$ となる．

$625\equiv 1$ (mod 16)に気付かなければ，例えば次のように地道にやると良いだろう．

$a=A\cdot 5^4=B\cdot 2^4+1$ の両辺を5で余りを考えて $B=5C+4$ と書け， $A\cdot 5^3=16C+13$ となり，さらにこの両辺を5で余りを考えて $C=5D+2$ と書け， $A\cdot 5^2=16D+9$ となる．同様に $D=5E+1$ と書け， $5A=16E+5$ となり，さらに $E=5F$ と書けて $A=16F+1$ となる．

いま $1\leqq A \leqq 15$ なる奇数であるから $A=1$
（ $F=0，E=0，D=1，C=7，B=39$ ）
となり，よって $a=625$ となる．

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