2005年(平成17年)東京大学前期-数学(理科)

(1) ，，…… に対し の第 次導関数は，数列 ， を用いて

と表されることを示し，，に関する漸化式を求めよ．

(2) とおく． を用いて ， の一般項を求めよ．

[2] となるどのような複素数 に対しても とは表されない複素数 全体の集合を とする．すなわち，

とする．このとき， に属する複素数 で絶対値 が最大になるような の値を求めよ．

[3] 関数 を とする．ただし， は自然対数の底である．

(1) ならば であることを示せ．

(2) を正の数とするとき，数列 （，，…）を， によって定める． であれば， であることを示せ．

[4] 以上 以下の奇数 で， が で割り切れるものをすべて求めよ．

[5] を1以上の整数とする．数字 ，，……， が書かれたカードを1枚ずつ，計 枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

(i) 甲が 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を とする．ひいたカードはもとに戻す．

(ii) 甲はもう 回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数を とする．ひいたカードはもとに戻す．ひかなかった場合は， とする． の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iii) の場合は，乙が 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を とする．ひいたカードはもとに戻す． の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iv) の場合は，乙はもう 回カードをひく．そのカードに書かれた数を とする． の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを， の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

(1) 甲が 回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を を用いて表せ．

(2) 甲が 回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を を用いて表せ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．

[6] を正の実数とする． 空間において
，
，

をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ．