https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2005/Kouki

2020.09.18記（2026.02.20.記）

[1] $xy$ 平面の原点を $\mbox{O}$ として，2点 $\mbox{P}(\cos\theta，\sin\theta)$ ， $\mbox{Q}(1，0)$ をとる．ただし， $0\lt\theta\lt\pi$ とする．点 $\mbox{A}$ は線分 $\mbox{PQ}$ 上を，また点 $\mbox{B}$ は線分 $\mbox{OQ}$ 上を動き，線分 $\mbox{AB}$ は $\triangle\mbox{OPQ}$ の面積を二等分しているとする．このような線分 $\mbox{AB}$ で最も短いものの長さを $l$ とおき，これを $\theta$ の関数と考えて $l^2=f(\theta)$ と表す．

(1) 線分 $\mbox{AQ}$ の長さを $a$ ， $\mbox{BQ}$ の長さを $b$ とすると， $ab=\sin\dfrac{\theta}{2}$ が成立することを示せ．

(2) $\mbox{PQ}\geqq\dfrac{1}{2}$ ， $\mbox{PQ}\lt\dfrac{1}{2}$ それぞれの場合について， $f(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ．

(3) 関数 $f(\theta)$ は $0\lt\theta\lt\pi$ で微分可能であることを示し，そのグラフの概形を描け．また， $f(\theta)$ の最大値を求めよ．

本問のテーマ

双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積
（ヘロンの公式）

2026.02.20.17:30記
双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積との関連については1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISRを参照してください．

[解答]
(1) $\dfrac{\triangle\mbox{QAB}}{\triangle\mbox{OPQ}}$ $=\dfrac{\mbox{QA}\cdot\mbox{QB}}{\mbox{QP}\cdot\mbox{QO}}=\dfrac{1}{2}$ ， $\mbox{PQ}=2\sin\dfrac{\theta}{2}$ であるから， $ab=\mbox{QA}\cdot\mbox{QB}=\dfrac{\mbox{QP}\cdot\mbox{QO}}{2}$ $=\sin\dfrac{\theta}{2}$ …①となる．

(2) $\triangle\mbox{QAB}$ に余弦定理を適用すると
$\mbox{AB}^2=a^2+b^2-2ab\cos\left(\dfrac{\pi-\theta}{2}\right)$ $=a^2+b^2-2ab\sin\dfrac{\theta}{2}$
が成立する．ここで $s=\sin\dfrac{\theta}{2}$ とおくと①から
$\mbox{AB}^2=a^2+b^2-2s^2$ …②
$=(b-a)^2+2s(1-s)$ …③
が成立する．ここで $b$ が $1$ から $\dfrac{1}{2}$ まで単調に減少するとき， $a$ は $s$ から $2s$ まで単調に増加するので $b-a$ は正数 $1-s$ から減少して $\dfrac{1}{2}-2s$ に至る．

(i) $\mbox{PQ}\geqq\dfrac{1}{2}$ （ $s\geqq\dfrac{1}{4}$ ）のとき：
$\dfrac{1}{2}-2s\leqq 0$ であるから， $a=b$ となり得る．よって③により
$\mbox{AB}^2$ の最小値は $2s-2s^2$ となる．

(ii) $\mbox{PQ}\lt\dfrac{1}{2}$ （ $s\lt\dfrac{1}{4}$ ）のとき：
$\dfrac{1}{2}-2s\gt 0$ であるから， $a=b$ とはなり得ず， $|b-a|$ の最小値は
$\dfrac{1}{2}-2s$ であり，これは $a=2s$ ， $b=\dfrac{1}{2}$ のときである．
よって②により $\mbox{AB}^2$ の最小値は $2s^2+\dfrac{1}{4}$ となる．

以上により，
$f(\theta)=\begin{cases} 2\sin^2\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{1}{4} & (\mbox{PQ}\lt\dfrac{1}{2}) \\ 2\sin\dfrac{\theta}{2}-2\sin^2\dfrac{\theta}{2} & (\dfrac{1}{2}\leqq \mbox{PQ})\end{cases}$
となる．

(3) $\mbox{PQ}=\dfrac{1}{2}$ となるのは， $\sin\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{4}$ のときであり，このような， $0\lt\theta\lt\pi$ なる唯一の $\theta$ を $\theta_0$ とし， $s_0=\sin\dfrac{\theta_0}{2}$ とおく．このとき $s=\sin\dfrac{\theta}{2}$ は任意の $\theta$ について連続かつ微分可能であるから，
$F(s)=\begin{cases} F_1(s)=2s^2+\dfrac{1}{4} & (0\lt s\lt\dfrac{1}{4}) \\ F_2(s)=2s-2s^2 & (\dfrac{1}{4}\leqq s\lt 1)\end{cases}$
とおくとき， $F(s)$ が $0\lt s\lt 2$ で連続かつ微分可能であることを示せば良い．

$F_1(s)，F_2(s)$ は $s$ の多項式関数であるから全実数で連続かつ微分可能であるから，
$F(s)$ が $s=\dfrac{1}{4}$ で連続かつ微分可能であることを示せば良い，

$F_1\left(\dfrac{1}{4}\right)=F_2\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{3}{8}$ であるから， $F(s)$ は $s=\dfrac{1}{4}$ で連続である．

$F_1'(s)=4s$ ， $F_2'(s)=2-4s$ であるから $F_1'\left(\dfrac{1}{4}\right)=F_2'\left(\dfrac{1}{4}\right)=1$ であるから， $F'(s)$ は $s=\dfrac{1}{4}$ で連続となり，よって $F(s)$ は $s=\dfrac{1}{4}$ で微分可能である．

よって $F(s)$ は $0\lt s\lt 1$ で微分可能であるから， $f(\theta)$ は $0\lt \theta\lt \pi$ で微分可能となる．

$s$ は $\theta$ について単調増加であり， $F_2(s)=-\left(s-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}$ に注意すると， $F(s)$ の増減は

$s$	$(0)$	$\cdots$	$\dfrac{1}{4}$	$\cdots$	$\dfrac{1}{2}$	$\cdots$	$1$
$F'(s)$		$+$	$1$	$+$	$0$	$-$
$F(s)$	$(1/4)$	$\nearrow$	$3/8$	$\nearrow$	$1/2$	$\searrow$	$0$

となり，よって $f(\theta)$ の増減は

$\theta$	$(0)$	$\cdots$	$\theta_0$	$\cdots$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi$
$f'(\theta)$		$+$		$+$	$0$	$-$
$f(\theta)$	$(1/4)$	$\nearrow$	$3/8$	$\nearrow$	$1/2$	$\searrow$	$0$

となる（グラフ略）．よって $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ （ $\triangle\mbox{OPQ}$ が正3角形）のときに $f(\theta)$ は最大値 $\dfrac{1}{2}$ をとる．

ちなみに $f'(\theta_0)=\dfrac{\sqrt{15}}{8}$ となります．

1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1968年(昭和43年)一橋大学-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1975年(昭和50年)東京大学-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
ヘロンの公式の変な証明 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照してください．