2005年(平成17年)東京大学前期-数学(文科)

[1] をを満たす2次関数とする．，を実数として，関数を次で与える．

， をいろいろ変化させ

が最小になるようにする．このとき，， であることを示せ．

[2] 以上 以下の奇数 で， が で割り切れるものをすべて求めよ．

[3] 以上の実数 ， が を満たしながら動くとき，方程式

の解のとる値の範囲を求めよ．

[4] を1以上の整数とする．数字 ，，……， が書かれたカードを1枚ずつ，計 枚用意し，甲，乙のふたりが次の手順でゲームを行う．

(i) 甲が 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を とする．ひいたカードはもとに戻す．

(ii) 甲はもう 回カードをひくかどうかを選択する．ひいた場合は，そのカードに書かれた数を とする．ひいたカードはもとに戻す．ひかなかった場合は， とする． の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iii) の場合は，乙が 枚カードをひく．そのカードに書かれた数を とする．ひいたカードはもとに戻す． の場合は乙の勝ちとし，ゲームは終了する．

(iv) の場合は，乙はもう 回カードをひく．そのカードに書かれた数を とする． の場合は乙の勝ちとし，それ以外の場合は甲の勝ちとする．

(ii)の段階で，甲にとってどちらの選択が有利であるかを， の値に応じて考える．以下の問いに答えよ．

(1) 甲が 回目にカードをひかないことにしたとき，甲の勝つ確率を を用いて表せ．

(2) 甲が 回目にカードをひくことにしたとき，甲の勝つ確率を を用いて表せ．

ただし，各カードがひかれる確率は等しいものとする．