https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2004/Rika

2024.02.18記

[1] $xy$ 平面の放物線 $y=x^2$ 上の3点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ が次の条件をみたしている．

$\triangle\mbox{PQR}$ は一辺の長さ $a$ の正三角形であり，点 $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を通る直線の傾きは $\sqrt{2}$ である．

このとき， $a$ の値を求めよ．

2021.01.28記

[解答]
${\rm P}(p,p^2)$ ， ${\rm Q}(q,q^2)$ （ $p\lt q$ ）， ${\rm R}(r,r^2)$ とおくと， ${\rm PQ}$ の傾きが $\sqrt{2}$ より，残りの2辺の傾きは $\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}}{1\mp\sqrt{6}}=-\dfrac{4\sqrt{2}\pm3\sqrt{3}}{5}$ であるから
$p+q=\sqrt{2}$ ， $p+r=-\dfrac{4\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{5}$ ， $q+r=-\dfrac{4\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{5}$
である．よって， $a=\sqrt{3}(q-p)=\sqrt{3}\{(q+r)-(p+r)\}=\dfrac{18}{5}$