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2004年(平成16年)東京大学前期-数学(文科)[2]

2024.02.18記

[2] $a$ を正の実数とする．次の2つの不等式を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体からなる領域を $D$ とする．
$y\geqq x^2$ ，
$y\leqq -2x^2+3ax+6a^2$
領域 $D$ における $x+y$ の最大値，最小値を求めよ．

2021.01.29記

[解答]
$x+y=Y$ とおくと $f(x):=x^2+x\geqq -2x^2+(3a+1)x+6a^2=:g(x)$ における $Y$ の値域を求めれば良い．

$Y=f(x)$ と $Y=g(x)$ の交点が $(-a,a^2-a)$ ， $(2a,4a^2+2a)$ （ $a^2-a\gt 4a^2+2a$ ）であることから

最小値が $f\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr)=-\dfrac{1}{4}$ となるのは $-a\leqq -\dfrac{1}{2} \leqq 2a$ つまり $\dfrac{1}{2}\geqq a$ のときであり，

最大値が $g\Bigl(\dfrac{3a+1}{4}\Bigr)=\dfrac{57a^2+6a+1}{8}$ となるのは $-a\leqq \dfrac{3a+1}{4} \leqq 2a$ つまり $\dfrac{1}{5}\leqq a$ のときであることに注意すると，

最大値は $\dfrac{1}{5}\leqq a$ のとき $\dfrac{57a^2+6a+1}{8}$ ，それ以外で $4a^2+2a$
最小値は $\dfrac{1}{2}\geqq a$ のとき $-\dfrac{1}{4}$ ，それ以外で $a^2-a$

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