https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2003/Rika

2024.02.13記

[4] 2次方程式 $x^2-4x-1=0$ の $2$ つの実数解のうち大きいものを $\alpha$ ，小さいものを $\beta$ とする． $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対し， $s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく．

(1) $s_1$ ， $s_2$ ， $s_3$ を求めよ．また， $n\geqq 3$ に対し， $s_n$ を $s_{n-1}$ と $s_{n-2}$ で表せ．

(2) $\beta^3$ 以下の最大の整数を求めよ．

(3) $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数の $1$ の位の数を求めよ．

2021.01.19記
$s_0=2$ を考えると手間が少し省ける．

[解答]
(1) $s_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2$ とおくと，
$\alpha^{n+2}-4\alpha^{n+1}-\alpha^n=0$ ， $\beta^{n+2}-4\beta^{n+1}-\beta^n=0$ により
$s_{n+2}=4s_{n+1}+s_n$ が成立する．
$s_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2$ ， $s_1=\alpha+\beta=4$ だから
$s_2=4\times4+2=18，s_3=4\times18+4=76$

(2) $\beta=2-\sqrt{5}$ だから $-1\lt \beta\lt 0$ となり， $-1\lt \beta^3\lt 0$ だから， $\beta^3$ 以下の最大の整数は $-1$

(3) 以下、 $\mod 10$ で $s_0\equiv 2$ ， $s_1\equiv 4$ ， $s_2\equiv 8$ ， $s_3\equiv 6$ ， $s_4\equiv 2$ ， $s_5\equiv 4$ となるが，3項間漸化式なので、連続する2つが同じであれば，以下繰り返し，今は周期4だから $s_{2003}\equiv s_3\equiv 6$
よって
$s_{2003}=\alpha^{2003}+\beta^{2003}=10K+6$ （ $K$ はある整数）
となるが， $-1\lt\beta^{2003}\lt 0$ だから
$10K+6\lt \alpha^{2003}=10K+6-\beta^{2003}\lt 10K+7$
が成立するので， $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数は $10K+6$ の形となり，その1の位は6．

類題
2003年(平成15年)東京大学前期-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR