2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)

[1] ，， を実数とし， とする．
2次関数 が次の条件(A)，(B)を満たすとする．

(A) ，

(B) を満たすすべての に対し，

このとき，積分 の値のとりうる範囲を求めよ．

[2] を原点とする複素数平面上で を表す点を ， を表す点を とする．ただし， は虚数単位である．正の実数 に対し， を表す点 をとる．

(1) を求めよ．

(2) 線分 の長さが最大になる を求めよ．

[3] 空間において，平面 上の原点を中心とする半径 の円を底面とし，点 を頂点とする円錐(すい)を とする．次に，平面 上の点 を中心とする半径 の円を，平面 上の点 を中心とする半径 の円を とする．と を2つの底面とする円柱を とする．円錐 と円柱 の共通部分を とする．

を満たす実数 に対し，平面 による の切り口の面積を とおく．

(1) とする． のとき， を で表せ．

(2) の体積 を求めよ．

[4] 2次方程式 の つの実数解のうち大きいものを ，小さいものを とする．，，，… に対し， とおく．

(1) ，， を求めよ．また， に対し， を と で表せ．

(2) 以下の最大の整数を求めよ．

(3) 以下の最大の整数の の位の数を求めよ．

[5] さいころを 回振り，第 回目から第 回目までに出たさいころの目の数 個の積を とする．

(1) が で割り切れる確率を求めよ．

(2) が で割り切れる確率を求めよ．

(3) が で割り切れる確率を とおく． を求めよ．

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする．

[6] 円周率が より大きいことを証明せよ．