https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2003/Bunka

2024.02.18記

[3] 2次方程式 $x^2-4x+1=0$ の $2$ つの実数解のうち大きいものを $\alpha$ ，小さいものを $\beta$ とする． $n=1$ ， $2$ ， $3$ ，… に対し， $s_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく．

(1) $s_1$ ， $s_2$ ， $s_3$ を求めよ．また， $n\geqq 3$ に対し， $s_n$ を $s_{n-1}$ と $s_{n-2}$ で表せ．

(2) $s_n$ は正の整数であることを示し， $s_{2003}$ の1の位の数を求めよ．

(3) $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数の $1$ の位の数を求めよ．

2021.01.19記
$s_0=2$ を考えると手間が少し省ける．

[解答]
(1) $s_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2$ とおくと，
$\alpha^{n+2}-4\alpha^{n+1}+\alpha^n=0$ ， $\beta^{n+2}-4\beta^{n+1}+\beta^n=0$ により
$s_{n+2}=4s_{n+1}-s_n$ が成立する．
$s_0=\alpha^0+\beta^0=1+1=2$ ， $s_1=\alpha+\beta=4$ だから
$s_2=4\times4-2=14，s_3=4\times14-4=52$

(2) $s_0，s_1$ が整数で，漸化式 $s_{n+2}=4s_{n+1}-s_n$ をみたすので，帰納的に任意の0以上の整数について $s_n$ は整数となる．

$\mod 10$ で $s_0\equiv 2$ ， $s_1\equiv 4$ ， $s_2\equiv 4$ ， $s_3\equiv 2$ ， $s_4\equiv 4$ ，となるが，3項間漸化式なので、連続する2つが同じであれば，以下繰り返し，今は周期3だから $s_{2003}\equiv s_2\equiv 4$

(3) $s_{2003}=\alpha^{2003}+\beta^{2003}=10K+4$ （ $K$ はある整数）
となるが， $\beta=2-\sqrt{3}$ により $0\lt \beta\lt 1$ だから， $0\lt\beta^{2003}\lt 1$ となり，
$10K+3\lt \alpha^{2003}=10K+4-\beta^{2003}\lt 10K+4$
が成立するので， $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数は $10K+3$ の形となり，その1の位は3．

類題
2003年(平成15年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR