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2002年(平成14年)東京大学前期-数学(理科)[4]

2024.02.13記

[4] $a$ は正の実数とする． $xy$ 平面の $y$ 軸上に点 $\mbox{P}(0,a)$ をとる．関数 $y=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ のグラフを $C$ とする． $C$ 上の点 $\mbox{Q}$ で次の条件を満たすものが原点 $\mbox{O}(0,0)$ 以外に存在するような $a$ の範囲を求めよ．

条件： $\mbox{Q}$ における $C$ の接線が直線 $\mbox{PQ}$ と直交する．

2021.01.18記

[解答]
$\rm Q$ における法線が $\rm P$ を通る条件を考える．

$y'=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$ により， ${\rm Q}\Bigl(t,\dfrac{t^2}{1+t^2}\Bigr)$ における法線の方程式は
$y=-\dfrac{(1+t^2)^2}{2t}x+\dfrac{(1+t^2)^2}{2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}$ だから
$f(t)=\dfrac{(1+t^2)^2}{2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}=\dfrac{(1+t^2)^2}{2}ー\dfrac{1}{t^2+1}+1$ の $t\neq 0$ における値域を考えれば良い．

$f(t)$ は $t^2$ について単調増加であり，
$t^2\to 0$ で $f(t)\to \dfrac{1}{2}$ ，
$t^2\to+\infty$ で $f(t)\to +\infty$ だから
$\dfrac{1}{2}\lt f(t)$ となる．

よって求める条件は $a\gt \dfrac{1}{2}$

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