https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2002/Bunka

2024.02.13記

[1] 2つの放物線
$\begin{matrix} y=2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta \\ y=-2\sqrt{3}(x+\cos\theta)^2-\sin\theta \end{matrix}$
が相異なる $2$ 点で交わるような $\theta$ の範囲を求めよ．
ただし， $0^{\circ} \leqq \theta \lt {360}^{\circ}$ とする．

2021.01.17記

[解答]
2つの放物線（凸図形）は原点対称だから，求める必要十分条件は，原点が $y\gt 2\sqrt{3}(x-\cos\theta)^2+\sin\theta$ の領域に含まれることであり，
$2\sqrt{3}\cos^2\theta+\sin\theta\lt 0$
である．
$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ に注意して整理すると
$(2\sin\theta+\sqrt{3})(\sqrt{3}\sin\theta-2)\gt 0$
$\Longleftrightarrow \sin\theta\gt -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ （∵ $\sqrt{3}\sin\theta-2\lt 0$ ）
よって，
$240^{\circ}\lt\theta\lt 300^{\circ}$