https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2001/Rika

2024.02.12記

[4] 複素数平面上の点 $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_n$ ，… を
$\left\{ \begin{array}{l} a_1=1, \quad a_2=i, \\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad（n=1，2，…）\end{array}\right.$
により定め， $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）とおく．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1) 3点 $b_1$ ， $b_2$ ， $b_3$ を通る円 $C$ の中心と半径を求めよ．

(2) すべての点 $b_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）は円 $C$ の周上にあることを示せ．

本問のテーマ

メビウス変換（一次分数変換）

2020.09.04記
一次分数変換 $f(z)=1+\dfrac{1}{z}$ によって，円 $\Bigl|z-\dfrac{1}{2}\Bigr|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ が不動という話．
複素平面で $z\mapsto \dfrac{1}{\bar{z}}$ は単位円に関する反転。

2021.01.17記

[解答]
(1) $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ を $a_{n+1}$ で割ると $b_{n+1}=1+\dfrac{1}{b_n}$ が成立する．
$a_1=1，a_2=i，a_3=1+i，a_4=1+2i$ より $b_1=i，b_2=1-i，b_3=\dfrac{3+i}{2}$ となる．

求める円の中心を $p+qi$ ，半径を $r$ とおくと，
$r^2=p^2+(q-1)^2=(p-1)^2+(q+1)^2$ $=\Bigl(p-\dfrac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(q-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2$
となる．第2項と第3項より $2p-4q=1$ ，第3項と第4項より $3p-q = \dfrac{3}{2}$ だから， $p=\dfrac{1}{2}，q=0$ となり， $r^2=\dfrac{5}{2}$ となる．

よって中心は $\dfrac{1}{2}$ ，半径は $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ 　となる．

(2) 変換 $w=1+\dfrac{1}{z}$ による $C:\Bigl|z-\dfrac{1}{2}\Bigr|=\dfrac{5}{4}$ （ $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}，\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ を直径とする円）の像を求める．

$u=\dfrac{1}{z}$ ， $w=u+1$ の二段階で変換する．

$u=\dfrac{1}{z}$ は単位円に関する反転と実軸対称移動だから， $u$ は $\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}，\dfrac{2}{1＋\sqrt{5}}$ を直径とする円，つまり $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}，\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ を直径とする円を描く．

$w=u+1$ は $1$ だけ平行移動するので， $w$ は $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}，\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ を直径とする円を描くので，これは $C$ に一致する．

よって， $b_n$ が $C$ 上のとき， $b_{n+1}$ も $C$ 上にあるので，(1) とあわせて，任意の自然数 $n$ について， $b_n$ は $C$ 上にある．