2001年(平成13年)東京大学前期-数学(理科)

[1] 半径 の球面上に4点 ，，， がある．四面体 の各辺の長さは，，
を満たしている．このとき の値を求めよ．

[2] 次の等式を満たす関数 （）がただ一つ定まるための実数 ， の条件を求めよ．また，そのときの を決定せよ．

ただし， は区間 で連続な関数とする．

[3] 実数 に対し， 平面上の点 ，， を頂点とする三角形の面積を とし，線分 ， と双曲線 とで囲まれた部分の面積を とする．このとき とおくと，関数 は においてつねに減少することを示せ．

[4] 複素数平面上の点 ，，…，，… を

により定め，（，，…）とおく．ただし， は虚数単位である．

(1) 3点 ，， を通る円 の中心と半径を求めよ．

(2) すべての点 （，，…）は円 の周上にあることを示せ．

[5] 容量 リットルの 個のビーカー（ガラス容器）に水が入っている．
で空(から)のビーカーは無い．入っている水の総量は リットルである．また リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，その他のビーカーには リットル未満の水しか入っていない．

このとき，水の入っているビーカーが 個になるまで，次の(a)から(c)までの操作を，順に繰り返し行う．

(a) 入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ．

(b) さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ．

(c) 次に，(a)で選んだビーカーの水を\bra{b}で選んだビーカーにすべて移し，空になったビーカーを取り除く．

この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは，そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

(1) のとき，最初に リットルの水の入っていたビーカーは，操作の途中で空になって取り除かれるか，または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ．

(2) のとき，最初に リットルの水の入っていたビーカーは，最後まで リットルの水が入ったままで残ることを証明せよ．

[6] コインを投げる試行の結果によって，数直線上にある 点 ， を次のように動かす．

表が出た場合：点 の座標が点 の座標より大きいときは， と を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， のみ正の方向に1動かす．

裏が出た場合：点 の座標が点 の座標より大きいときは， と を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， のみ正の方向に1動かす．

最初 点 ， は原点にあるものとし，上記の試行を 回繰り返して と を動かしていった結果，， の到達した点の座標をそれぞれ ， とする．

(1) 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数 通りのうち， となる場合の数を とおく． と の間の関係式を求めよ．

(2) を求めよ．

(3) 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数 通りについての の値の平均を求めよ．