2001年(平成13年)東京大学前期-数学(文科)

[1] 半径 の球面上に4点 ，，， がある．四面体 の各辺の長さは，
，
を満たしている．このとき の値を求めよ．

[2] 時刻 に原点を出発した 点 ， が 平面上を動く．点 の時刻 での座標は で与えられる．点 は，最初は 軸上を 座標が増加する方向に一定の速さ で動くが，点 に到達した後は，その点から 軸に平行な直線上を 座標が増加する方向に同じ速さ で動く．

のとき，三角形 の面積を とおく．

(1) 関数 （）のグラフの概形を描け．

(2) を正の実数とするとき， における の最大値を とおく．関数 （）のグラフの概形を描け．

[3] コインを投げる試行の結果によって，数直線上にある 点 ， を次のように動かす．

表が出た場合：点 の座標が点 の座標より大きいときは， と を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， のみ正の方向に1動かす．

裏が出た場合：点 の座標が点 の座標より大きいときは， と を共に正の方向に1動かす．そうでないときは， のみ正の方向に1動かす．

最初 点 ， は原点にあるものとし，上記の試行を回繰り返して と を動かしていった結果，， の到達した点の座標をそれぞれ ，とする．

(1) 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数 通りのうち， となる場合の数を とおく． と の間の関係式を求めよ．

(2) を求めよ．

[4] 白石 個と黒石 個の合わせて 個の碁(ご)石が横に一列に並んでいる．碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ．

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる．ただし，碁石が一つも残らない場合も同数とみなす．