2024.02.12記
[5] 次の条件を満たす正の整数全体の集合を 
とおく．
「各けたの数字はたがいに異なり，どの2つのけたの数字の和も にならない．」
ただし， の要素は
進法で表す．また，
けたの正の整数は
に含まれるとする．
このとき次の問いに答えよ．
(1) の要素でちょうど4けたのものは何個あるか．
(2) 小さい方から数えて 番目の
の要素を求めよ．
2021.01.13記
[解答]
(1)
においてペアである2つの数から2回選ぶことができない．
(1)
よって4桁の数の場合， 個
(2) 1桁の数は個，2桁の数は
個，3桁の数は
個だから4桁以下の
の要素は
個ある．
4桁の数の千の位が1〜9個までのものはそれぞれ個あるので，
2050番目〜2241番目は9から始まる4桁の数，
1858番目〜2049番目は8から始まる4桁の数
となる．
8から始まる4桁の数の百の位は， のものがそれぞれ
個ずつあるので，
2026番目〜2049番目は89から始まる4桁の数，
2002番目〜2025番目は87から始まる4桁の数
となる．
よって，2001番目の数は86から始まる一番大きな数8697であり，2000番目の数はその次に大きな8695である．
