2000年(平成12年)東京大学前期-数学(理科)

[1] ， の直角二等辺三角形 の各辺に接し，ひとつの軸が辺 に平行な楕(だ)円の面積の最大値を求めよ．

[2] 複素数平面上の原点以外の相異なる 点 ，を考える．，を通る直線を ，原点から に引いた垂線と の交点を とする．ただし，複素数 が表す点 を とかく．このとき，

「 であるための必要十分条件は，， が中心 ，半径 の円周上にあることである．」
を示せ．

[3] とする．正の整数 に対して，区間 を 等分する点の集合
の上で定義された関数 があり，次の方程式を満たす．

ただし，， である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) （，，…，）とおいて を求めよ．

(2) とおく． を求めよ．

(3) ，，それぞれの場合について， の でのグラフをかけ．

[4] 座標平面上を運動する3点 ，， があり，時刻 における座標が次で与えられている．
，
，

ただし， は正の定数である．この運動において，以下のそれぞれの場合に のとりうる値の範囲を求めよ．

(1) 点 と線分 が時刻 から までの間ではぶつからない．

(2) 点 と線分 がただ一度だけぶつかる．

[5] 次の条件を満たす正の整数全体の集合を とおく．

「各けたの数字はたがいに異なり，どの2つのけたの数字の和も にならない．」

ただし， の要素は 進法で表す．また， けたの正の整数は に含まれるとする．
このとき次の問いに答えよ．

(1) の要素でちょうど4けたのものは何個あるか．

(2) 小さい方から数えて 番目の の要素を求めよ．

[6] (1) ，， を正の実数とするとき，

を満たす実数 ，， を，， で表せ．

(2) ，， が
，，
の範囲を動くとき，(1)の ，， を座標とする点 が描く立体を とする．立体 を平面 で切った切り口の面積を求めよ．

(3) この立体 の体積を求めよ．