https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2000/Kouki

2024.02.12記

[3] 背番号 $1$ から $5$ までを順に付けた $5$ 人が，何も置かれていないテーブルに向かっている．最初 $5$ 人は各自3枚のコインを持っている．それを背番号順に必ず $1$ 枚または $2$ 枚テーブルの上に置いてゆく．ただし，手もとに $2$ 枚以上のコインがあるときに $1$ 枚だけコインを置く確率を $p$ とし， $p$ は人によらず一定とする．

背番号 $5$ の人が置き終わったところ（一巡目が終わったところ）で，再び背番号 $1$ の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく．

(1) 一巡目が終わったとき，テーブルの上に $7$ 枚のコインが置かれている確率 $Q$ を求めよ．また，その $Q$ を最大にする $p$ の値と，そのときの $Q$ の値を求めよ．

(2) 一巡目を終えるとき，背番号 $5$ の人が，テーブル上に $7$ 枚目のコインを置く確率 $R$ を求めよ．また，その $R$ を最大にする $p$ の値を求めよ．

(3) 二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ．

本問のテーマ

和の期待値は期待値の和

2025.08.06記

[解答]
(1) 5人中3人が1枚，2人が2枚置くので $Q={}_5\mbox{C}_3 p^3(1-p)^2=10(p^5-2p^4+3^3$ となり，これは AM-GM 不等式により $p=\dfrac{3}{5}$ で最大値 $10\cdot\dfrac{3^3\cdot 2^2}{5^5}=\dfrac{216}{625}$ をとる．

(2) 背番号4までで5枚目あるか6枚あるかで場合分けして
$R={}_4\mbox{C}_3 p^3(1-p)^2+{}_4\mbox{C}_2 p^2(1-p)^2=p^2(1-p)^2(4p+6)$ となる．
$\dfrac{dR}{dp}=-4p(1-p)(5p^2+3p+3)$ により $p=\dfrac{-3+\sqrt{69}}{10}$ のときに最大となる．

(3) 各人が二巡目を終えた時点で2枚のコインを出す確率は $p^2$ であるから，各人の置いたコインの枚数の期待値は $2p^2+3(1-p^2)=3-p^2$ となり，求める期待値はその5倍の $15-5p^2$ となる．