https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2000/Kouki

2024.02.12記

[2] 正整数 $l$ を与える．各正整数 $n$ に対して，関数 $y=x^l\sin nx$ ， $0\leqq x\leqq 2\pi$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる図形を $C_n$ とする．

(1) $C_n$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を $V_n$ とするとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} V_n$ を求めよ．

(2) $C_n$ を $y$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を $W_n$ とするとき，極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} W_n$ を求めよ．

本問のテーマ

$f(x) |\sin nx|$ の積分の極限

2025.08.06記
$f(x)$ が $0\leqq x\leqq 2$ で単調増加のとき，
$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} f\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\geqq \displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx -\dfrac{f(1)-f(0)}{n}$ ，
$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} f\left(\dfrac{k}{n}\right)\leqq \displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx +\dfrac{f(1)-f(0)}{n}$
で評価できる．

[解答]
(1) $V_n=\displaystyle\int_0^{2\pi} \pi x^{2l} \sin^2 nx dx$ である． $x^{2l}$ は単調増加であるから
$\left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{2l}\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} \sin^2 nx\, dx$ $\leqq \displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} x^{2l}\sin^2 nx\, dx$ $\leqq \left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{2l}\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} \sin^2 nx\, dx$ ，
つまり $\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} \sin^2 nx\, dx=\dfrac{\pi}{2n}$ により
$\dfrac{\pi}{2n}\cdot \left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{2l}$ $\leqq \displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} x^{2l}\sin^2 nx\, dx$ $\leqq \dfrac{\pi}{2n}\cdot \left(\dfrac{k\pi}{n}\right)^{2l}$
が成立する．よって
$\pi\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{\pi}{2n}\cdot \left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{2l}$ $\leqq V_n$ $\leqq \pi\cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{\pi}{2n}\cdot \left(\dfrac{k\pi}{n}\right)^{2l}$
つまり
$\dfrac{\pi^{2l+2}}{2} \cdot\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^{2l}$ $\leqq V_n$ $\leqq \dfrac{\pi^{2l+2}}{2}\cdot \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{2l}$
が成立する．ここで
$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^{2l}\geqq \displaystyle\int_0^2 x^{2l}\, dx -\dfrac{1}{n}$ ，
$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{2l}\leqq \displaystyle\int_0^2 x^{2l}\, dx +\dfrac{1}{n}$
であるから，
$\dfrac{\pi^{2l+2}}{2}\left(\displaystyle\int_0^2 x^{2l}\, dx -\dfrac{1}{n}\right)\leqq V_n\leqq \dfrac{\pi^{2l+2}}{2}\left(\displaystyle\int_0^2 x^{2l}\, dx +\dfrac{1}{n}\right)$
となり，はさみうちの原理から
$V_n\to \dfrac{\pi^{2l+2}}{2}\displaystyle\int_0^2 x^{2l}\, dx=\dfrac{2^{2l+1}\pi^{2l+2}}{2(2l+1)}=\dfrac{2^{2l}\pi^{2l+2}}{2l+1}$
となる．

(2) $W_n=\displaystyle\int_0^{2\pi} 2\pi x^{l+1} |\sin nx| dx$ である． $x^{l+1}$ は単調増加であるから
$\left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{l+1}\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\, dx$ $\leqq \displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} x^{l+1}|\sin nx|\, dx$ $\leqq \left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{l+1}\displaystyle\int_{k\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\, dx$ ，
つまり $\displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\, dx=\dfrac{2}{n}$ により
$\dfrac{2}{n}\cdot \left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{l+1}$ $\leqq \displaystyle\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} x^{l+1}|\sin nx|\, dx$ $\leqq \dfrac{2}{n}\cdot \left(\dfrac{k\pi}{n}\right)^{l+1}$
が成立する．よって
$2\pi\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{2}{n}\cdot \left(\dfrac{(k-1)\pi}{n}\right)^{l+1}$ $\leqq W_n$ $\leqq 2\pi\cdot \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \dfrac{2}{n}\cdot \left(\dfrac{k\pi}{n}\right)^{2l}$
つまり
$4\pi^{l+2}\cdot\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^{l+1}$ $\leqq W_n$ $\leqq 4\pi^{l+2}\cdot \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{l+1}$
が成立する．ここで
$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k-1}{n}\right)^{l+1}\geqq \displaystyle\int_0^2 x^{l+1}\, dx -\dfrac{1}{n}$ ，
$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{2n} \left(\dfrac{k}{n}\right)^{l+1}\leqq \displaystyle\int_0^2 x^{l+1}\, dx +\dfrac{1}{n}$
であるから，
$4\pi^{l+2}\cdot\left(\displaystyle\int_0^2 x^{l+1}\, dx -\dfrac{1}{n}\right)\leqq V_n\leqq 4\pi^{l+2}\cdot\left(\displaystyle\int_0^2 x^{l+1}\, dx +\dfrac{1}{n}\right)$
となり，はさみうちの原理から
$W_n\to 4\pi^{l+2}\displaystyle\int_0^2 x^{l+1}\, dx=\dfrac{4\pi^{l+2}2^{l+2}}{l+2}=\dfrac{2^{l+4}\pi^{l+2}}{l+2}$
となる．