2000年(平成12年)東京大学後期-数学

[1] を正整数とし，を変数とする次多項式について次の条件
(C)
を考える．ただし，と定める．このとき，次の問に答えよ．

(1) ， に対し， を求めよ．

(2) すべての に対し，条件(C)を満たす が存在し，しかもただ一つであることを示せ．

(3) 正整数 に対し， 次の多項式
を次の条件が成立するように定める．

このとき， 個の整数，，…，がそれぞれただ一つ存在して と表されることを示せ．

[2] 正整数を与える．各正整数に対して，関数，のグラフと軸で囲まれる図形をとする．

(1) を 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を とするとき，極限値 を求めよ．

(2) を 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を とするとき，極限値 を求めよ．

[3] 背番号からまでを順に付けた人が，何も置かれていないテーブルに向かっている．最初人は各自3枚のコインを持っている．それを背番号順に必ず 枚または 枚テーブルの上に置いてゆく．ただし，手もとに 枚以上のコインがあるときに 枚だけコインを置く確率を とし， は人によらず一定とする．

背番号 の人が置き終わったところ（一巡目が終わったところ）で，再び背番号 の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく．

(1) 一巡目が終わったとき，テーブルの上に 枚のコインが置かれている確率 を求めよ．また，その を最大にする の値と，そのときの の値を求めよ．

(2) 一巡目を終えるとき，背番号 の人が，テーブル上に 枚目のコインを置く確率 を求めよ．また，その を最大にする の値を求めよ．

(3) 二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ．