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2000年(平成12年)東京大学前期-数学(文科)[3]

2024.02.12記

[3] 正四面体の各頂点を $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\mbox{A}_3$ ， $\mbox{A}_4$ とする．ある頂点にいる動点 $x$ は，同じ頂点にとどまることなく， $1$ 秒ごとに他の $3$ つの頂点に同じ確率で移動する． $x$ が $\mbox{A}_i$ に $n$ 秒後に存在する確率を $P_i(n)$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ，…）で表す．
$P_1(0)=\dfrac{1}{4}$ ， $P_2(0)=\dfrac{1}{2}$ ， $P_3(0)=\dfrac{1}{8}$ ， $P_4(0)=\dfrac{1}{8}$ とするとき， $P_1(n)$ と $P_2(n)$ （ $n=0$ ， $1$ ， $2$ ，…）を求めよ．

2021.01.13記

[解答]
$n+1$ 秒後に ${\rm A}_i$ にいる確率は， $n$ 秒後に ${\rm A}_i$ にいなくて，その後 $\dfrac{1}{3}$ の確率で ${\rm A}_i$ に来るから，
$P_i(n+1)=\dfrac{1}{3}(1-P_i(n))$
となるので，
$P_i(n)=\dfrac{1}{(-3)^{n}}\Bigl(P_i(0)-\dfrac{1}{4}\Bigr)+\dfrac{1}{4}$
となる．

よって， $P_1(n)-\dfrac{1}{4}$ ，
$P_2(n)=\dfrac{1}{4\cdot (-3)^{n}}+\dfrac{1}{4}$

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