https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1999/Rika

2020.07.23記

[6] $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\, e^x {\sin}^2x \,dx>8$ であることを示せ．ただし， $\pi=3.14\cdots$ は円周率， $e=2.71\cdots$ は自然対数の底である．

2020.07.23記
ちょっと格好つけて
$I=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\, e^x {\sin}^2x \, dx$ $=\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\, (e^x+e^{\pi -x}) {\sin}^2x \, dx$ $\gt \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\, 2e^{\pi/2} {\sin}^2x \, dx$ $=\dfrac{\pi}{2}e^{\pi/2}$
と評価すると，評価が粗すぎて失敗する．

素直に積分する．

[解答]
$I=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\, e^x \dfrac{1-\cos 2x}{2} \, dx$ $=\displaystyle\dfrac{e^\pi -1}{2}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\, e^x \cos 2x \, dx$
となり， $\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ， $\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ なる $\alpha$ を用いて
$I=\dfrac{e^\pi -1}{2}-\dfrac{1}{2}\Bigl[ \dfrac{1}{\sqrt{5}} e^x \cos (2x-\alpha)\Bigr]_{0}^{\pi}$ $=\dfrac{e^\pi -1}{2}-\dfrac{e^\pi -1}{2}\cdot \dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{2(e^\pi -1)}{5}$
となる．よって， $e^\pi > 21$ を示せば良い．

ここで，下に凸な $y=e^x$ の $x=0$ における接線の式から， $x\gt 0$ で $e^x \gt x+1$ となるので，
$e^{\pi-3} \gt 1+(\pi -3) > 1.14$
が成立する．

よって
$e^\pi \gt e^3 \times 1.14$ $\gt 2.7^3\times \dfrac{10}{9}$ $\gt \dfrac{3^7}{100}$ $=\dfrac{3\times 729}{100}$ $\gt 21$
となり，題意は示された．

1.14 を 10/9 で評価している解答は見掛けなかった。まぁ、1.1でも十分だから。でも $3^6=81\times 9=729$ は暗算でできるので、1.1よりも 10/9 の方が少し計算が楽で、しかも厳しい評価になっている。

ここで， $e^x \gt x+1$ の不等式が、良い近似式としても通用する範囲は、やはり二次の項 $x^2$ が小さい範囲なので、 $e^\pi > 1+\pi$ は緩々の不等式となる。そこで $x$ が0に近い数になるように $e^{\pi-3}$ を考えている。

また， $x=3$ における接線の式で評価して $e^x \gt e^3(x-3)+e^3$ に $\pi$ を代入して $e^\pi > e^3(\pi -3)+e^3$ としても良いが，指数関数の平行移動が拡大になるという関数方程式 $f(x+t)=f(t)\times f(x)$ を考えると，今回の場合は，全く同じことを行なっていることがわかる。

さらに、 $e^x$ で、 $x=3,\pi$ の間での平均値の定理を使っても同じ不等式がでる．

なお， $e^\pi=23.14...$ であるから，1割ぐらいの誤差は許容されるので、粗すぎず、細かすぎない絶妙な値になっている。