1999年(平成11年)東京大学前期-数学(理科)

(2) (1)で述べた定義にもとづき，一般角 ，に対して
，

を証明せよ．

[2] 複素数 （，，…）を
， によって定める．
ただし は虚数単位である．

(1) すべての自然数について

が成り立つことを示せ．

(2) 実数 に対して， を満たす の個数を とおく．このとき，

を求めよ．

[3] を を満たす実数とする．

(1) 四面体 の各辺はそれぞれ確率 で電流を通すものとする．このとき，頂点 から に電流が流れる確率を求めよ．ただし，各辺が電流を通すか通さないかは独立で，辺以外は電流を通さないものとする．

(2) (1)で考えたような2つの四面体 と を図のように頂点 と でつないだとき，頂点 から に電流が流れる確率を求めよ．

[4] 空間において 平面上に円板 があり 平面上に円板 があって以下の 条件を満たしているものとする．

(a) ， は原点からの距離が 以下の領域に含まれる．

(b) ， は一点 のみを共有し， はそれぞれの円周上にある．

このような円板 と の半径の和の最大値を求めよ．ただし，円板とは円の内部と円周をあわせたものを意味する．

[5] (1) を自然数とする． を とおくとき， を満たすすべての整数 について，二項係数 は偶数であることを示せ．

(2) 以下の条件を満たす自然数 をすべて求めよ．

条件： を満たすすべての整数 について二項係数 は奇数である．

[6] であることを示せ．ただし， は円周率， は自然対数の底である．