https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1998/Rika

2024.02.07記

[4] 実数 $a$ に対して $k\leqq a \lt k+1$ をみたす整数 $k$ を $[a]$ で表す． $n$ を正の整数として，
$f(x)=\dfrac{x^2(2\cdot3^3\cdot n-x)}{2^5\cdot3^3\cdot n^2}$
とおく． $36n+1$ 個の整数 $[f(0)]$ ， $[f(1)]$ ， $[f(2)]$ ，…， $[f(36n)]$ のうち相異なるものの個数を $n$ を用いて表せ．

2021.01.12記
$f(x+1)-f(x)\geqq 1$ なら $[f(x+1)]\neq [f(n)]$ が確実に成立します．また，
$f(x+1)-f(x)\lt 1$ なら $[f(x+1)]=[f(n)]$ または $[f(x)]+1$ となり，連続する整数値をとることになります．

[解答]
$f'(x)=\dfrac{x(2^2\cdot 3^2\cdot n-x)}{2^5\cdot 3^2\cdot n^2}$
であるから， $0\leqq x\leqq 36n$ で $f(x)$ は単調増加であり，
$f'(x)\gt 1 \Longleftrightarrow x^2-36n+288 \lt 0$ $\Longleftrightarrow 12n \lt x \lt 24$
である．

また， $f''(x)=\dfrac{2\cdot 3^2\cdot n-x}{2^4\cdot 3^2\cdot n^2}$ であるから，
$f'(x)$ は $0\leqq x\leqq 18n$ で単調増加， $18n\leqq x\leqq 36n$ で単調減少である．