https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1997/Rika

2024.01.15記

[5] $a$ を $0\lt a\lt \dfrac{1}{4}$ をみたす実数とする． $xy$ 平面で，不等式 $y^2 \leqq x^2(1-x^2)-a$ の表す領域を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

2020.01.11記
$y$ 軸回転は $\pi\int x^2 dy$ だから， $x^2$ を $y$ で表せば良い.

四分円の面積 $\displaystyle\int_0^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\dfrac{\pi r^2}{4}$ を使う．

[解答]
$(x^2)^2-x^2+a+y^2$ により，
$x^2=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4(y^2+a)}}{2}$
となり， $y$ の範囲は $1-4(y^2+a)\geqq 0$ より
$|y|\leqq\sqrt{\dfrac{1}{4}-a}$ （ $=r$ とおく）である．

よって，求める体積を $V$ とすると
$V=2\pi\displaystyle\int_0^r \sqrt{1-4(y^2+a)} dy$ $V=4\pi\displaystyle\int_0^r \sqrt{r^2-y^2} dy$ $=\pi^2 r^2=\pi^2\Bigl(\dfrac{1}{4}-a\Bigr)$
となる．