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1996年(平成8年)東京大学前期-数学(文科)[1]

2024.01.14記

[1] $a$ を実数とする．行列 $X=\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$ が $X^2-2X+aE=O$ を満たすような実数 $x$ ， $y$ を求めよ．
ただし， $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ， $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ とする．

2020.09.25記

[大人の解答]
$X$ と複素数 $z=x+yi$ は1対1対応し，このとき $z^2-2z+a=0$ ，つまり $(z-1)^2=1-a$ を満たすような実数 $x$ ， $y$ を求めれば良い．

(i) $a\leqq 1$ のとき，右辺は正または0であるから， $z$ の2次方程式の解は $z=1\pm\sqrt{1-a}$ となり， $(x,y)=(1\pm\sqrt{1-a},0)$ ，

(ii) $a\geqq 1$ のとき，右辺は負または0であるから， $z$ の2次方程式の解は $z=1\pm\sqrt{a-1} i$ となり， $(x,y)=(1,\pm\sqrt{a-1})$

となる．

2020.10.02記
$X$ と複素数 $z=x+yi$ は1対1対応することから，SO(2) と U(1) は同一視でき，Lie 群として同型である．

2024.01.15記

[解答]
$X^2=\begin{pmatrix} x^2-y^2 & -2xy \\ 2xy & x^2-y^2 \end{pmatrix}$ により
$X^2-2X+aE=\begin{pmatrix} x^2-2x-y^2+a & -2(x-1)y \\ 2(x-1)y & x^2-2x-y^2+a \end{pmatrix}=O$ ，
つまり

$(x-1)^2-y^2=1-a$ かつ「 $x=1$ または $y=0$ 」

を満たすような実数 $x$ ， $y$ を求めれば良い．これはドモルガンの法則により

$(x,y^2)=(1,a-1)$ または $\bigl((x-1)^2,y\bigr)=(1-a,0)$

と同値となるので，

(i) $a\lt 1$ のとき， $\bigl((x-1)^2,y\bigr)=(1-a,0)$ から $(x,y)=(1\pm\sqrt{1-a},0)$ ，

(ii) $a=1$ のとき， $(x,y^2)=(1,0)$ または $(\bigl((x-1)^2,y\bigr)=(0,0)$ ，つまり $(x,y)=(1,0)$ ，

(iii) $a\gt 1$ のとき， $(x,y^2)=(1,a-1)$ から $(x,y)=(1,\pm\sqrt{a-1})$

となる．

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