1995年(平成7年)東京大学後期-数学

[1] パスカル三角形の第 行の部分和
，，
として数列 ，， を定義する．ただし， のとき とする．

(1) ，， を ，， の式として表せ．

(2) 一般項 ，， を求めよ．

(3) ，， を求めよ．

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 456 28 8 1

[2] 平面上に 点 ， があり， と の距離は であるとする．このとき，次の（条件）を満たす三角形 の面積 の最大値を求めたい．

（条件）三角形 は与えられた平面上にあり，各頂点 ，， から までの距離または までの距離のうち，少なくとも一方は 以下である．

(1) を中心とする半径 の円周を ， を中心とする半径 の円周を とする．上の（条件）の下で最大面積をもつ三角形の頂点 ，， はそれぞれ または の上にあることを示せ．

(2) この二つの頂点 ， は円周 上にあるとして，この円の中心 から弦 におろした垂線の長さを とする． を固定したとき，（条件）を満たす三角形 の面積 が最大となるならば，直線 と直線 は直交することを示せ．

(3) （条件）を満たす三角形の面積 の最大値を求めよ．

[3] から まで，それぞれ違った数字が書かれたカードが 枚ずつ 枚ある．このカードを使って， と の 人が次のルールでゲームをする．

と は最初に 枚ずつカードを持つ．相手のカードの数字は見えない．

まず， が 枚のカードを数字が見えるようにして出し， はそれを見て 枚のカードを出す．数字の大きいカードを出した者が 点を得る．

次に，残りのカードを出しあって，数字の大きいカードを出した者が 点を得る．

この際，と はおのおのの得点が最大となるようにカードを出すものとする．

(1) カードが配られた後， は手持ちのカードのうち，数字の大きいものを最初に出した方が有利か，不利か，あるいはどちらを出しても同じか．

(2) ， に無作為に 枚ずつカードを配った場合， の得る点数の期待値を求めよ．

(3) はカードの数字の合計が となるような 枚のカードを最初に選んで持っているものとする． は残りのカードから無作為に 枚のカードを選んでゲームを行なう．この場合， ははじめにどのようにカードを選べば の得る点数の期待値が最大となるか，また最小となるか．それぞれの場合の得点の期待値を求めよ．