https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1994/Bunka

2024.01.10記

[3] $0\lt a\leqq1$ に対し，行列 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1+2a \end{pmatrix}$ を考える． $\vec{u}=\begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta \end{pmatrix}$ のとき，ベクトル $A\vec{u}$ の長さ $|A\vec{u}|$ について，次の不等式が成り立つことを示せ．
$(2-\sqrt{2})a \leqq |A\vec{u}| \leqq 2+\sqrt{2}$
ただし $0\leqq \theta\leqq 2\pi$ とする．

本問のテーマ

対称行列の固有ベクトルは直交

2024.01.12記
$A$ の固有値は $1+a\pm\sqrt{1+a^2}$ であり，固有ベクトルは互いに直交するので， $0\lt a\leqq 1$ で
$(2-\sqrt{2})a \leqq 1+a-\sqrt{1+a^2}$ ， $1+a\pm\sqrt{1+a^2}\leqq 2+\sqrt{2}$
を示せば良い．

[解答]
$|A\vec{u}|^2$ $=(\cos\theta+\sin\theta)^2+(\cos\theta+\sin\theta+2a\sin\theta)^2$
$=2(a+1)\sin2\theta-2a(a+1)\cos2\theta+2a^2+2a+2$
$=2(a+1)\begin{pmatrix} -a \\ 1\end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix} \cos2\theta \\ \sin2\theta \end{pmatrix}+2a^2+2a+2$
により
$2a^2+2a+2-2(a+1)\sqrt{a^2+1}$ $\leqq |A\vec{u}|^2$ $\leqq 2a^2+2a+2+2(a+1)\sqrt{a^2+1}$
が成立し，
$2a^2+2a+2\pm 2(a+1)\sqrt{a^2+1}=(a+1\pm\sqrt{a^2+1})^2$
から
$1+a-\sqrt{1+a^2}$ $\leqq |A\vec{u}|^2$ $\leqq 1+a\pm\sqrt{1+a^2}$
が成立する．

ここで $\leqq 1+a\pm\sqrt{1+a^2}$ は $a$ について単調増加であるから $1+a\pm\sqrt{1+a^2}\leqq 2+\sqrt{2}$ である．

また， $1+a-\sqrt{1+a^2}-(2-\sqrt{2})a$ $=1+(\sqrt{2}-1)a-\sqrt{1+a^2}$
$=\dfrac{\{1+(\sqrt{2}-1)a\}^2-(1+a^2)}{1+(\sqrt{2}-1)a+\sqrt{1+a^2}}$
$=\dfrac{2(\sqrt{2}-1)a(1-a)}{1+(\sqrt{2}-1)a+\sqrt{1+a^2}}\geqq0$ （∵ $0\leqq a\leqq 1$ ）
だから
$(2-\sqrt{2})a \leqq |A\vec{u}| \leqq 2+\sqrt{2}$
が成立する．