1993年(平成5年)東京大学後期-数学

[1] を 以上の自然数とする． 平面上，原点を中心とし，点 をひとつの 頂点にもつ正 角形を とする．

(1) の像が に完全に重なるような1次変換を表わす行列をすべて求めよ．

(2) (1)で求めた行列すべての和を求めよ．

[2] 平面において，直線 と点 の距離を と書くことにする．さらに，相異なる3点 が与えられたとき とおく．

(1)ある与えられた直線に平行な直線のうち， を最小にする直線 は三角形 の重心を通ることを示せ．

(2) 異なる 3 本の直線が を最小にするならば，三角形 は正三角形であることを示せ．

[3] 放物線の一部 ， を 軸のまわりに回転してできる回転体型の容器に水を満たし，このなかに，半径 の鉛の球を，それが容器につかえて止るまでゆっくり沈めた．ただし，鉛直線を 軸とする。このとき次の問いに答えよ．

(1) もとの水面の高さから球の中心の高さを引いた差 を の関数として表わせ．

(2) あふれ出る水の体積を最大にする の値を求めよ．