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2024.01.07記

[1] $a$ は $1$ より大きい定数とし， $xy$ 平面上の点 $(a,0)$ を $\mbox{A}$ ，点 $(a,\log a)$ を $\mbox{B}$ ，曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸の交点を $\mbox{C}$ とする．さらに $x$ 軸，線分 $\mbox{B}\mbox{A}$ および曲線 $y=\log x$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする．

(1) $1\leqq b\leqq a$ となる $b$ に対し点 $(b,\log b)$ を $\mbox{D}$ とする．四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積が $S_1$ にもっとも近くなるような $b$ の値と，そのときの四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積 $S_2$ を求めよ．

(2) $a\to\infty$ のときの $\dfrac{S_2}{S_1}$ の極限値を求めよ．

2024.01.07記
(1) 四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積を $S(b)$ とおくと
$S(b)=\dfrac{1}{2}(b-1)\log b+\dfrac{1}{2}(a-b)(\log a+\log b)$
だから，
$2S'(b)=\log b+\dfrac{b-1}{b}-(\log a+\log b)+\dfrac{1}{b}(a-b)$ $=\dfrac{a-1}{b}-\log a$
となる．よって $S'(b)$ は $b\geqq 1$ で単調減少であり $b=\dfrac{a-1}{\log a}$ で $0$ となるが，
$\log x$ の $x=1$ での接線を考えると
$\log a\lt a-1$ ， $\log \dfrac{1}{a}\lt \dfrac{1}{a}-1$ だから，
$S'(1)=a-1-\log a\gt 0$ ， $S'(a)=1-\dfrac{1}{a}-\log a\lt 0$
となるので， $1\lt \dfrac{a-1}{\log a}\lt a$ を満たしているので， $S(b)$ は $b=\dfrac{a-1}{\log a}$ のときに最大となる．

として $S\left(\dfrac{a-1}{\log a}\right)$ を計算しても良い．

[解答]
(1) $y=\log x$ は上に凸であることに注意すると，
点 $\mbox{D}$ における $y=\log x$ の接線の傾きが直線 $\mbox{AB}$ の傾きに等しいときに四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積が最大となる．

よって， $\dfrac{1}{b}=\dfrac{\log a}{a-1}$ のときに四辺形 $\mbox{ABCD}$ の面積が最大となる．

このとき， $\mbox{D}$ における $y=\log x$ の接線の方程式は
$y=\dfrac{1}{b}(x-b)+\log b=\dfrac{x}{b}+\log b-1$
であるから， $x=a$ のときの $y$ 座標は
$\dfrac{a}{b}+\log b-1=\dfrac{a\log a}{a-1}+\log(a-1)-\log\log a -1$ となる．ここで $\mbox{E}\left(a,\dfrac{a\log a}{a-1}+\log(a-1)-\log\log a -1\right)$ とおくと
$S_2=\triangle\mbox{CAE}$
$=\dfrac{1}{2}(a-1)\left(\dfrac{a\log a}{a-1}+\log(a-1)-\log\log a -1\right)$
となる．

(2) $S_1=\displaystyle\int_1^a \log x dx$ $=a\log a-a +1$ である．

$\triangle\mbox{CAB}=S_3$ とおくと
$\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\dfrac{S_1}{S_3}$ $=\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\dfrac{a\log a -1}{(a-1)\log a/2}$ $=2 \displaystyle\lim_{a\to+\infty}\left(\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{(a-1)\log a}\right)$ $=2$
であり，
$\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\dfrac{S_2}{S_3}$ $=\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\dfrac{\dfrac{a\log a}{a-1}+\log(a-1)-\log\log a -1}{\log a}$
$=\displaystyle\lim_{a\to+\infty} \left(\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{\log a+\log(1-1/a)}{\log a}+\dfrac{\log(\log a)}{\log a}-\dfrac{1}{\log a}\right)$
$=1+1+0-0=2$
であるから，
$\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\dfrac{S_2}{S_1}$ $\displaystyle\lim_{a\to+\infty}\dfrac{S_2/S_3}{S_1/S_3}$ $=\dfrac{2}{2}=1$
となる．

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log x}{x}=0$ は明らかとしたが，証明するには

$e^t$ の $t=0$ での接線を考えると $t\gt 0$ で $e^t\gt t+1\gt 0$ だから $2t=t'$ とおくと
$e^{t'}=(e^t)^2\gt (t+1)^2 \gt t^2=\dfrac{(t')^2}{4}$
となるので， $t'\gt 0$ のとき
$0\lt \dfrac{t'}{e^{t'}}\lt \dfrac{4}{t'}$
が成立するので，はさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{t' \to+\infty}\dfrac{t'}{e^{t'}}=0$
となる．ここで $t'=\log x$ を置き換えれば
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log x}{x}=0$
であることがわかる．