1992年(平成4年)東京大学前期-数学(理科)

[1] は より大きい定数とし， 平面上の点 を ，点 を ，曲線 と 軸の交点を とする．さらに 軸，線分 および曲線 で囲まれた部分の面積を とする．

(1) となる に対し点 を とする．四辺形 の面積が にもっとも近くなるような の値と，そのときの四辺形 の面積 を求めよ．

(2) のときの の極限値を求めよ．

[2] 平面において， 座標， 座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点に持つ三角形 を考える．

(1) 辺 ， それぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると，辺 上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ．

(2) 辺 ， 上に両端を除いて丁度 点ずつ格子点が存在するとすると，三角形 の面積は で割り切れる整数であることを示せ．

[3] ， を正の実数とする．座標空間の4点，，，が半径 の同一球面上にあるとき，，，， を頂点とする四面体に内接する球の半径を とすれば，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．

[4] 空間において， 軸の平行な柱面
，，， は実数
から， 軸と平行な柱面
，，， は実数
により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形を とする．図形 の展開図をえがけ．ただし点 を通り 軸と平行な直線に沿って を切り開くものとする．

[5] 平面において，曲線 上の点， を出発し，この曲線上を進む点 がある．出発してから 秒後の の速度 の大きさは に等しく， の 成分はつねに正または であるとする．

(1) 出発してから 秒後の の位置を として， と の間の関係式を求めよ．

(2) がベクトル と平行になるのは出発してから何秒後か．

[6] ， の二人がじゃんけんをして，グーで勝てば 歩，チョキで勝てば 歩，パーで勝てば 歩進む遊びをしている． 回のじゃんけんで の進む歩数から の進む歩数を引いた値の期待値を とする．

(1) がグー，チョキ，パーを出す確率がすべて等しいとする． がどのような確率でグー，チョキ，パーを出すとき， の値は最大となるか．

(2) がグー，チョキ，パーを出す確率の比が であるとする． がどのような確率でグー，チョキ，パーを出すならば，任意の ，， に対し， となるか．