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1991年(平成3年)東京大学前期-数学(理科)[5]

2024.01.04記

[5] $xy$ 平面上， $x$ 座標， $y$ 座標がともに整数であるような点 $(m,n)$ を格子点とよぶ．
各格子点を中心として半径 $r$ の円がえがかれており，傾き $\dfrac{2}{5}$ の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという．このような性質をもつ実数 $r$ の最小値を求めよ．

本問のテーマ

$ax+by=k$ （ $a,b$ は整数）の整数解

2024.01.06記

[解答]
直線の方程式を $2x-5y=k$ とおくとき，格子点 $(m,n)$ と直線の距離は
$\dfrac{|2m-5n-k|}{\sqrt{29}}$
であり， $2，5$ は互いに素であるから $2m-5n$ は任意の整数値をとりうることに注意すると， $k$ に一番近い整数を $N$ としたときに $2m-5n=N$ を満たす格子点 $(m,n)$ が直線との距離を最小にする格子点となる．

このとき， $k$ と $k$ に一番近い整数 $N$ との差は $\dfrac{1}{2}$ 以下，つまり $|N-k|\leqq\dfrac{1}{2}$ であることから，直線 $2x-5y=k$ と格子点との距離の最小値 $\dfrac{|N-k|}{\sqrt{29}}$ が最大となるのは $|N-k|=\dfrac{1}{2}$ （ $2k$ が奇数のとき）の $\dfrac{1}{2\sqrt{29}}$ であり，これが $r$ の最小値となる．

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