https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1990/Rika

2024.01.04記

[1] $a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ ， $b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}$ を求めよ．

2021.01.30記

[解答]
$\displaystyle a_n\gt \int_1^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{n+1}-2\to+\infty$ （ $n\to\infty$ ）
であり
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\lt b_n\lt \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}$
より
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigl( a_n - 1 +\dfrac{1}{{n+1}}\Bigr) \lt b_n \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}a_n$
だから
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{ n}{\sqrt{2}(n+1)a_n} \lt \dfrac{b_n}{a_n} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
となるので，
$\dfrac{b_n}{a_n}\to\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ （ $\to\infty$ ）