1990年(平成2年)東京大学後期-数学

[1] 平面上の 点 ，，， を頂点とする正方形を とする．このとき，次の条件を満たす 平面上の点 の存在する範囲を図示し，その部分の面積を求めよ．

（条件）点 を通って， の面積 を と に切り分けるような直線を引くことができない．

[2] とし， を 平面上の原点とする．，…， に対して， を正の実数とし， とおいたとき，点 を となるように定める．ただし，このとき となっているものとする．，，…， を順に結んで得られる六角形を とおく．

(1) であることを示せ．

(2) ， とするとき， の面積の最大値を求めよ．

(3) とするとき， の面積の最大値を求めよ．

[3] 長さ の線分をつなげてできる右のような平面上の図形 ，，，… を考える．，，，… に対し，図形 の左端の点を ，右端の点を ，上端の点を とする．

図形略
図形略
図形略
図形略

は一辺の長さが の正三角形の周である． は図のように， を つつなげてできる図形である．

と同じ図形を つ用意し，それらを ，， とする．，，に対し， の左端の点を ，右端の点を ，上端の点を としたとき， は， と ， と ， と がそれぞれ同一の点になるようにおいてできる図形である．

において， から線分の上を通り，一度通った点は二度通らずに まで行く行き方を考える．この行き方のうち，途中 を通らない場合の個数を とし，途中 を通る場合の個数を とする．容易にわかるように， である．

(1) ， を求めよ．

(2) を ， を用いて表せ．また， を ， を用いて表わせ．

(3) ， を求めよ．