https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1990/Bunka

2024.01.04記

[2] $a$ ， $b$ ， $c$ を整数， $p$ ， $q$ ， $r$ を $p\lt 0\lt q\lt 1\lt r\lt 2$ をみたす実数とする．
関数 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+c$ が次の条件(i)，(ii) をみたすように $a$ ， $b$ ， $c$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ を定めよ．

(1) $f(x)=0$ は $4$ 個の相異なる実数解をもつ．

(2) 関数 $f(x)$ は $x=p$ ， $q$ ， $r$ において極値をとる．

2021.01.31記

[解答]
条件より， $f(p)\lt 0$ ， $f(q)\gt 0$ ， $f(r)\lt 0$ となり，
$f'(0)=b \gt 0$ ， $f'(1)=4+3a+b\lt 0$ ， $f'(2)=32+12a+b\gt 0$
が成立する．よって
$0\lt b$ ， $b\lt -3a-4$ ， $-12a-32\lt b$
となるが， $a,b$ が整数より
$1\leqq b$ ， $b\leqq -3a-5$ ， $-12a-31\leqq b$
となる．このような $b$ が存在するためには， $a$ について
$1\leqq -3a-5$ ， $-12a-31\leqq -3a-5$
の両方が成立する必要があるので， $-\dfrac{26}{9}\leqq a\leqq -2$ であるが， $a$ は整数により $a=-2$ である．このとき， $1\leqq b$ ， $b\leqq 1$ ， $-7\leqq b$ から $b=-1$ である．

よって， $f(x)=x^4-2x^3+x+c$ となる．このとき $f'(x)=(2x-1)(2x^2-2x-1)$ により,
$p=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$ ， $q=\dfrac{1}{2}$ ， $r=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
となる．

$f(1/2)=\dfrac{5}{16}+c\gt 0$ である．

一方， $f(x)=\dfrac{1}{4}(2x^2-2x-1)^2-\dfrac{1}{4}+c$ より $f(p)=f(r)=-\dfrac{1}{4}+c\lt 0$ である．

よって $-\dfrac{5}{16}\lt c\lt \dfrac{1}{4}$ となり， $c=0$ である．