https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1989/Rika

[5] $f(x)=\pi x^2 \sin \pi x^2$ とする． $y=f(x)$ のグラフの $0\leqq x\leqq 1$ の部分と $x$ 軸とで囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ は $V=2\pi\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x)\,dx$ で与えられることを示し，この値を求めよ．

2021.01.23記
バームクーヘン積分に東大がお墨付きをあたえたとされる入試問題．
結局は置換積分と部分積分．

[解答]
$f'(x)=2\pi x (\sin \pi x^2+\pi x^2\cos\pi x^2)$ だから，
$f'(x)=0$ となるのは， $\tan\pi　x^2=-\pi x^2$ のときで， $0\lt x\lt 1$ における解は唯一であり，それを $\alpha$ とおく．

このとき， $0\lt x\lt \alpha$ で $x=g_1(y)$ ， $\alpha\lt x\lt 1$ で $x=g_2(y)$ なる逆関数が存在し， $0\lt x\lt \alpha$ で $\dfrac{dy}{dx}\gt 0$ ， $\alpha\lt x\lt 1$ で $\dfrac{dy}{dx}\lt 0$ であるから，
$V=\displaystyle \int_{x=1}^{x=\alpha} \pi \{g_2(y)\}^2 dy- \int_{x=0}^{x=\alpha} \pi \{g_1(y)\}^2 dy$
$=\displaystyle \int_{1}^{\alpha} \pi x^2 \dfrac{dy}{dx} dx - \int_{x=0}^{x=\alpha} \pi x^2 \dfrac{dy}{dx} dx$
$=- \displaystyle \int_{0}^{1} \pi x^2 \dfrac{dy}{dx} dx$
$=\displaystyle - \Bigl[ \pi x^2 f(x) \Bigr]_{0}^{1}+\displaystyle \int_{0}^{1} 2\pi x f(x) dx$
$=\displaystyle \int_{0}^{1} 2\pi x f(x) dx$ （ $f(0)=f(1)=0$ ）
より題意は示された．

$t=\pi x^2$ と置換すると
$V=\displaystyle \int_0^{\pi} t\sin t dt=\pi$

なお， $\displaystyle \int_0^{\pi} t\sin t dt=\pi$ は，
$y=\sin t$ （ $0\leqq t\leqq \pi$ ）のモーメントを求めているので，
$(面積)×(重心の t 座標)=2\times\dfrac{\pi}{2}=\pi$ と暗算で求まる．

もちろん，バームクーヘン積分として素直に

[解答]
$y=f(x)$ の $x\sim x+\Delta x$ の部分を回転させてできる立体の体積 $\Delta V$ は，この区間における $f(x)$ の最小値，最大値を $m，M$ とすると，円筒の体積で評価でき，
$\pi \{(x+\Delta x)^2-x^2\} m \leqq \Delta V\leqq \pi \{(x+\Delta x)^2-x^2\}M$
つまり
$\pi \{2x\Delta x+(\Delta x)^2\} m \leqq \Delta V\leqq \pi \{2x\Delta x+(\Delta x)^2\}M$
が成立する．よって $\pi (2x+\Delta x) m\leqq \dfrac{\Delta V}{\Delta x}\leqq \pi (2x+\Delta x) M$ となり， $\Delta x\to 0$ で $m\to f(x)，M\to f(x)$ であるから，はさみうちの原理により，
$\dfrac{dV}{dx}=2\pi x f(x)$ が成立する．
よって
$V=\displaystyle\int_0^1 2\pi x f(x) dx$
となる．

としても良いしても良いし，もっと簡単に

[解答]
$y=f(x)$ の $x\sim x+\Delta x$ の部分を回転させてできる立体の体積 $\Delta V$ は，円筒の体積
$\Delta V\approx \pi \{(x+\Delta x)^2-x^2\} f(x)$ $=\pi \{2x\Delta x+(\Delta x)^2\} f(x)$ $\approx 2\pi x f(x) \Delta x$
で近似できるので，
$V=\displaystyle\int_0^1 2\pi x f(x) dx$
となる．

程度でも十分である．

2021.06.11記

懐しい資料が見つかった

区分求積法にもち込むのが多数派．高さ $f(x)$ ，幅 $\Delta x$ ，内径 $x$ のチューブの体積は $\pi f(x)(2x\Delta x-(\Delta x)^2)$ ． $(\Delta x)^2$ の部分は当然高次の無限小であるが，この点にも言及した答案が結構あったのはさすが．私共としても，教科書に載っている程度の厳密な取扱いを期待する．回転体の， $x=0$ から $x=t$ までの体積を $V(t)$ としたとき，導関数 $V'(t)$ は円筒の側面積を与える，というのは高等学校の数学では証明できない． $f(x)$ が単調ならば回転体の面積を導く（教科書に書いてある）論法で示すことができる．これをするぐらいなら，区分求積か，ここで与えた解答例のやり方が簡単では？

(注) 解答例は持ってない