https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1989/Rika

[1] $k\gt 0$ とする． $xy$ 平面上の二曲線 $y=k(x-x^3)，x=k(y-y^3)$ が第1象限に $\alpha\neq\beta$ なる交点 $(\alpha,\beta)$ をもつような $k$ の範囲を求めよ．

2019.04.03記

[解答]
$x+y\neq 0，x-y\neq 0$ であるから，和および差を $x+y$ や $x-y$ で割ることにより、
$y=k(x-x^3)，x=k(y-y^3)$ $\Longleftrightarrow 1=k(1-x^2+xy-y^2)，-1=k(1-x^2-xy-y^2)$ $\Longleftrightarrow x^2+y^2=1，xy=\dfrac{1}{k}$
であるから，この2曲線が $x-y\neq 0$ なる交点を第1象限にもつ範囲を考えて $k\gt2$

2019.06.14記

[解答]
(途中から)

$x^2+y^2=1，xy=\dfrac{1}{k}$ なる実数 $x,y(x\neq y)$ が存在する条件は $x=\cos\theta,\,y=\sin\theta$ とおくと $\sin 2\theta=\dfrac{2}{k}\lt 1$ から $k\gt2$

2021.06.10記

懐しい資料が見つかった

数学(A)第1問と共通．3次曲線を $y=x$ に関しており返したものを考え，図形的直観で解こうとすると難しくなる．しかし，上手なアイディアで突破した受験生もいる．対称式 $\Longrightarrow$ 和と積，というのは受験数学のパターンではなかったのか．