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1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)[6]

2023.08.29記

[6] 空間内の点 $\mbox{O}$ に対して， $4$ 点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を $\mbox{OA}=1, \quad \mbox{OB}=\mbox{OC}=\mbox{OD}=4$ をみたすようにとるとき，四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積の最大値を求めよ．

2021.01.22記

[解答]
半径 $r$ の円に内接する三角形の面積が最大となるのは，それが正三角形のときで $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}r^2$ となることに注意する．

${\rm B,C,D}$ を含む平面を固定し，その平面の ${\rm O}$ からの距離を $h$ （ $0\leqq h\leqq 4$ ）とすると， ${\rm A}$ からその平面までの距離の最大値は $h+1$ であることから， $h$ を固定したときの $V$ の最大値 $V(h)$ は
$V(h)=\dfrac{\sqrt{3}}{4} (16-h^2)(h+1)$
である．
$V'(h)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4} (h-2)(3h+8)$
であるから，増減表により， $h=2$ のとき最大値 $9\sqrt{3}$ をとる．

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