1988年(昭和63年)東京大学-数学(理科)

(i) 点 は により第4象限の内部にうつる．

(ii) 点 は により第2象限の内部にうつる．

(iii) 点 は により第1象限の内部にうつる．

このとき には逆変換が存在することを示せ．また，点 の像 が第1象限の内部にあれば，点 も第1象限の内部にあることを示せ．

[2] 空間内に平面 がある．一辺の長さ1の正四面体 の 上への正射影の面積を とし， がいろいろと位置を変えるときの の最大値と最小値を求めよ．

ただし，空間の点 を通って に垂直な直線が と交わる点を の 上への正射影といい，空間図形 の各点の 上への正射影全体のつくる 上の図形を の 上への正射影という．

[3] を ， で与えられる 平面上の図形とする．次の条件をみたす 平面上の点 全体の集合を図示せよ．

「 を平行移動した図形で，点 を通り，かつもとの図形 との共有点がただ1点であるようなものが，ちょうど3個存在する．」

[4] 平面上で原点から傾き （）で出発し折れ線状に動く点 を考える．ただし，点 の 座標はつねに増加し，その値が整数になるごとに動く方向の傾きが 倍（）に変化するものとする．

の描く折れ線が直線 （）を横切るための ，， に関する条件を求めよ．

[5] 空間において， 平面上の で表される図形を 軸のまわりに回転して得られる不透明な立体を とする． の表面上 座標1のところにひとつの点光源 がある．

平面上の原点を中心とする円 の， からの光が当たっている部分の長さが であるとき， のかげの部分の長さを求めよ．

[6] 空間内の点 に対して， 点 ，，， を をみたすようにとるとき，四面体 の体積の最大値を求めよ．