https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1986/Rika

2023.08.29記

[3] (1) $xyz$ 空間において，三点 $\mbox{A}\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$ ， $\mbox{B}\left(0,\dfrac{1}{2},1\right)$ ， $\mbox{C}(1,0,1)$ を通る平面 $\mbox{S}_0$ に垂直で，長さ $1$ のベクトル $\overrightarrow{n_0}$ をすべて求めよ．

(2) 二点 $\mbox{D}(1,0,0)$ ， $\mbox{E}(0,1,0)$ を通る直線 $l$ を軸として，平面 $\mbox{S}_0$ を回転して得られるすべての平面 $\mbox{S}$ を考える．このような平面 $\mbox{S}$ に垂直で長さ1のベクトル $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$ の $y$ 成分の絶対値 $|y|$ は $\mbox{S}$ と共に変化するが，その最大値および最小値を求めよ．

2020.12.14記

[解答]
外積を使っても、平面ABCの方程式を求めて法線ベクトルを求めても良い．いずれにせよ， $\vec{n_0}=\pm\dfrac{1}{3}(1,2,-2)$ 　となる．この単位ベクトルと $\vec{l}=(-1,1,0)$ の内積が一定であることから，このベクトルを回転させたベクトルの先端 $(x,y,z)$ は
$(x,y,z)\cdot(-1,1,1)=\vec{n_0}\cdot(-1,1,1)$
により，平面 $x-y=\dfrac{1}{3}$ または $x-y=-\dfrac{1}{3}$ 上にある．

また， $\vec{n_0}$ は単位ベクトルだから、 $x^2+y^2+z^2=1$ をみたす．

図形は原点対称なので， $x-y=\dfrac{1}{3}$ について考えれば十分であり，このとき $\Bigl(y+\dfrac{1}{3}\Bigr)^2+y^2+z^2=1$ をみたす．

これは法線ベクトルの先端を $yz$ 平面に正射影した図形で，空間の円の正射影として楕円が得られていることがわかる．

この楕円で $y$ 座標のとりうる値の最大、最小は式の形から楕円の対称軸が $z=0$ であることに注意すると、 $z=0$ のときに
$y=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{6}$ となる．

楕円は連続だから $\dfrac{-1-\sqrt{17}}{6}\leqq y\leqq \dfrac{-1+\sqrt{17}}{6}$ となる．

$x-y=\dfrac{1}{3}$ の場合は、これを原点対称移動させたものだから $\dfrac{1-\sqrt{17}}{6}\leqq y\leqq \dfrac{1+\sqrt{17}}{6}$ となる．

以上から $\dfrac{-1-\sqrt{17}}{6}\leqq y\leqq \dfrac{1+\sqrt{17}}{6}$ となり， $0\leqq |y|\leqq \dfrac{1+\sqrt{17}}{6}$ が成立する．

よって最小値は $0$ ，最大値は $\dfrac{1+\sqrt{17}}{6}$ となる．