https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1986/Bunka

2023.08.29記

[3] 三次またはそれ以下の任意の整式 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ に対して，常に $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=uf(s)+vf(t)$ が成立つような定数 $u$ ， $v$ ， $s$ ， $t$ を求めよ．ただし $s\lt t$ とする．

本問のテーマ

ガウス-ルジャンドルの公式

2020.09.16記

ガウス-ルジャンドルの公式

Gauss-Legendre Quadrature - 球面倶楽部零八式 mark II

[大人の解答]
ガウス-ルジャンドルの公式より，2次の Legendre 多項式 $P_2(x)=\dfrac{1}{2}(3x^2-1)$ の零点 $\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ を用いて
$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) dx = 1\cdot f\Bigl(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) +1\cdot f\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)$ と書ける．

2023.08.30記

[解答]
$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=\dfrac{2}{3}b+2d$
であり，
$uf(s)+vf(t)=(us^3+vt^3)a$ $+(us^2+vt^2)b$ $(us+vt)c+(u+v)d$
であるから，両者が任意の $a$ 〜 $d$ について等しくなるには
$us^3+vt^3=0$ ， $us^2+vt^2=\dfrac{2}{3}$ ， $us+vt=0$ ， $u+v=2$
が成立すれば良い．

$vt=-us$ により， $us(s^2-t^2)=0$ ， $us(s-t)=\dfrac{2}{3}$ となるが
$0=us(s-t)(s+t)=\dfrac{2}{3}(s+t)$
より $s+t=0$ である．

よって，
$(u-v)s^3=0$ ， $(u+v)s^2=\dfrac{2}{3}$ ， $(u-v)s=0$ ， $u+v=2$
から $u=v=1$ ， $s^2(=t^2)=\dfrac{1}{3}$ となり， $s\lt t$ より
$s=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ， $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となる．