1985年(昭和60年)東京大学-数学(理科)

[1] とする． 平面において，不等式　，　によって定められる領域の面積を ，不等式 ，， によって定められる領域の面積を とする． を最大にするような の値と， の最大値を求めよ．

[2] 平面において， を原点， を定点 とする．また，， は円周 の上を動く 点であって，線分 から正の向きにまわって線分 にいたる角と，線分 から正の向きにまわって線分 にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする．

点 を通り 軸に垂直な直線と 軸との交点を ，点 を通り 軸に垂直な直線と 軸との交点を とする．実数 を与えたとき，線分 の長さが と等しくなるような点 ， の位置は何通りあるか．

[3] を正の数とする． 空間において，点 を とし， 軸を含み点 を通る平面に関して と対称な点を ， 軸を含み点 を通る平面に関して と対称な点を とする．また，原点を とする．4点 ，，， を頂点とする 面体の体積を求めよ．

[4] ，を実数とし， とおく．

(1) 行列 （，，……）の表す一次変換による点 ，
， の像をそれぞれ，，とし， とおく．（ここで， は線分 の長さを表す．） を ， を用いて表せ．

(2) ， であるとして， の値を最小にするような自然数 を求めよ．

[5] または正の整数の値をとる変数 ， がある． が整数 （）の値をとる確率と， が整数 （）の値をとる確率は，ともに であるとする．ここで， である．）

いま，任意の整数 ，（，）に対して， なる事象と なる事象は独立であり，また， となる確率は に等しいという．このとき，（，，，……）と の値を求めよ．

[6] 空間において，点 を ，点 を ，点 を とする．点 が の辺上を一周するとき， を中心とし半径 の球が通過する点全体のつくる立体を とする．

(1) を平面 で切った切り口の面積を求めよ．

(2) の体積を求めよ．