https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1985/Bunka

2023.08.26記

[3] $n$ を $2$ 以上の整数とする．
$x^n+ax+b$ （ $a$ ， $b$ は実数の定数）の形の多項式 $f(x)$ で
$\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=0, \quad \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0$
を満たすものを求めよ．
この $f(x)$ に対して $F(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} f(t)\,dt$ ， $G(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} F(t)\,dt$ とおく． $G(x)$ が極大または極小となる点 $x$ と，その点における $G(x)$ の値を求めよ．

2020.12.14記
真面目にやるだけかな。結果だけ書いておく。

[解答]
条件から
$n$ が偶数のとき $f(x)=x^n-\dfrac{1}{n+1}$
となり，
$G'(x)=F(x)=\dfrac{x(x^n-1)}{n+1}$
で $G(-1)=G(1)=0$ で極小、
$G(0)=\dfrac{n}{2(n+1)(n+2)}$ で極大。

$n$ が奇数のとき $f(x)=x^n-\dfrac{2}{n+1}x$
となり、
$G'(x)=F(x)=\dfrac{x^2(x^n-1)}{n+1}$
で $G(-1)=0$ で極大、
$G(1)=\dfrac{2(1-n)}{3(n+1)(n+2)}$ で極小。